An Explanatory, Topological Semantics for Inductive Knowledge
by Kevin T. Kelly, Director of Center for Formal Epistemology and Professor at Department of Philosophy, Carnegie Mellon University
資訊所幾乎每週都會有一到兩場演講，題目也很多元。
但是我覺得這場演講特別難得，因為講者是來自哲學專業背景的。
但是我覺得這場演講特別難得，因為講者是來自哲學專業背景的。
這場演講主要是在探討 modal logic 及其應用。
一開始講者先談到 epistemic logic，它有幾個公理：
(Kφ means "Agent α knows that φ.")
一開始講者先談到 epistemic logic，它有幾個公理：
(Kφ means "Agent α knows that φ.")
(N) Kφ, if ⊨ φ
若某事成立，則我知道某事。
(K) K(φ → ψ) → (Kφ → Kψ)
若我知道「若這件事，則那件事」，則「若我知道這件事，則我知道那件事」。
換句話說，若我知道這件事，而且我也知道「若這件事，則那件事」，則我知道那件事。
(T) Kφ → φ
若我知道某事，則某事為真。
(4) Kφ → KKφ
若我知道某事，則我知道我知道某事。
(5) ¬Kφ → K¬Kφ
若我不知道某事，則我知道我不知道某事。
若某事成立，則我知道某事。
(K) K(φ → ψ) → (Kφ → Kψ)
若我知道「若這件事，則那件事」，則「若我知道這件事，則我知道那件事」。
換句話說，若我知道這件事，而且我也知道「若這件事，則那件事」，則我知道那件事。
(T) Kφ → φ
若我知道某事，則某事為真。
(4) Kφ → KKφ
若我知道某事，則我知道我知道某事。
(5) ¬Kφ → K¬Kφ
若我不知道某事，則我知道我不知道某事。
最基本的 modal system 只遵循公理 T。
常見的，最完整的 modal system 是 S5。
常見的，最完整的 modal system 是 S5。
在進入 modal logic 之前，講者闡述了「世界」的概念。
(W is a world; I is a set of information states; E is an information state; H is a hypothesis.)
(W is a world; I is a set of information states; E is an information state; H is a hypothesis.)
I covers W.
I is closed under finite conjunction.
→ I is a topological basis of W.
I is closed under finite conjunction.
→ I is a topological basis of W.
H is verified by E iff E ⊆ H.
H if refuted by E iff E ⊆ Hc.
I(W) ≔ {E ∈ I | W ∈ E}
H if refuted by E iff E ⊆ Hc.
I(W) ≔ {E ∈ I | W ∈ E}
接著開始介紹 modal logic。
什麼是情態（modality）呢？其中一種常見的定義是：
Modality is the speaker’s "opinion or attitude towards the proposition that the sentence expresses or the situation that the proposition describes." (Lyons 1977:452)
什麼是情態（modality）呢？其中一種常見的定義是：
Modality is the speaker’s "opinion or attitude towards the proposition that the sentence expresses or the situation that the proposition describes." (Lyons 1977:452)
情態大致可以分為認知情態（epistemic modality）與義務情態（deontic modality）兩種。
認知情態：懷疑、可能、猜測等。
義務情態：承諾、命令、希望等。
認知情態：懷疑、可能、猜測等。
義務情態：承諾、命令、希望等。
最重要的兩個 modal operator 分別是：
□ denotes "will be verified that."
◊ denotes "will never be refuted that."
（運算子 □ 與 ◊ 分別意謂著 necessity 與 possibility。）
□ denotes "will be verified that."
◊ denotes "will never be refuted that."
（運算子 □ 與 ◊ 分別意謂著 necessity 與 possibility。）
□φ ≔ FVḞφ
F denotes future; V denotes "is verified that"; Ḟ denotes past of F.
Note: The dot (.) above F should be a grave (`).
F denotes future; V denotes "is verified that"; Ḟ denotes past of F.
Note: The dot (.) above F should be a grave (`).
e.g. "It will be verified that it is raining now."
In this sentence, "will be" can be denoted as F, "be verified" can be denoted as V, and "is V-ing now" can be denoted as Ḟ.
In this sentence, "will be" can be denoted as F, "be verified" can be denoted as V, and "is V-ing now" can be denoted as Ḟ.
Similarly, let R denotes "is refuted that."
Rφ ≔ V¬φ
◊φ ≔ ¬□¬φ
Rφ ≔ V¬φ
◊φ ≔ ¬□¬φ
比較特別的是，講者在這裡引入了 stack 的概念。
一個 history（記為 h）可以被理解成一個 stack，[[φ]]E*h 是 push 運算，[[φ]]pop(h) 是 pop 運算。
實際應用的例子：
[[Ḟφ]]h ≔ [[φ]]pop(h)
一個 history（記為 h）可以被理解成一個 stack，[[φ]]E*h 是 push 運算，[[φ]]pop(h) 是 pop 運算。
實際應用的例子：
[[Ḟφ]]h ≔ [[φ]]pop(h)
最後，講者提到了 stable belief 與 infallible belief。
Stabφ ≔ GCḞφ
Ĩnfal2φ ≔ VFG¬ẼḞḞφ
G denotes "will always"; C denotes correctness; E denotes error; Ẽ denotes error whether.
Stabφ ≔ GCḞφ
Ĩnfal2φ ≔ VFG¬ẼḞḞφ
G denotes "will always"; C denotes correctness; E denotes error; Ẽ denotes error whether.
最常見的對「知識」的定義是 justified true belief。
不過在這裡，講者採用的是：
Kφ ≔ Stabφ ∧ Ĩnfalφ
（或是用 Ĩnfal2φ 來定義。）
不過在這裡，講者採用的是：
Kφ ≔ Stabφ ∧ Ĩnfalφ
（或是用 Ĩnfal2φ 來定義。）
這些理論能帶給 computer science 什麼啟發嗎？
一些熱門的研究領域，如機器學習、人工智慧等，它們操作的對象已不再只是 data，也不是 information，而是 knowledge。
因此哲學中的知識論（epistemology）等研究對它們便具有一定的重要性。
一些熱門的研究領域，如機器學習、人工智慧等，它們操作的對象已不再只是 data，也不是 information，而是 knowledge。
因此哲學中的知識論（epistemology）等研究對它們便具有一定的重要性。
其實這場演講談到的內容遠超過我這裡所寫的，我只是摘錄下我（勉強）能夠理解的部份而已。
講者講的很多都是他自己的研究，也不見得有發表，所以要找到相關資料並不是很容易。
我對這方面的了解還相當有限，若發現任何錯誤，歡迎不吝指正。
講者講的很多都是他自己的研究，也不見得有發表，所以要找到相關資料並不是很容易。
我對這方面的了解還相當有限，若發現任何錯誤，歡迎不吝指正。
延伸閱讀：
http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/ (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://www.iep.utm.edu/modal-lo/ (Internet Encyclopedia of Philosophy)
http://www.andrew.cmu.edu/user/kk3n/kelly/johan-simplified-50.pdf (Speaker's Publication)
http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/ (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
http://www.iep.utm.edu/modal-lo/ (Internet Encyclopedia of Philosophy)
http://www.andrew.cmu.edu/user/kk3n/kelly/johan-simplified-50.pdf (Speaker's Publication)